Nach dem frühen Tod seiner Eltern wuchs Würtz bei seinem Onkel auf der Insel Föhr auf. Er sah sich als sendungsbewussten Kulturbringer und fühlte sich zum Lehrer berufen. Daher lehnte er es ab, ins Handelsgeschäft seines Onkels einzutreten. Nach dem Besuch des Lehrerseminars folgte 1899 seine erste Anstellung als Volksschullehrer in dem Dorf Uk in Nordschleswig.

1904 ging er nach Altona, bevor er 1910 über seine Kontakte zur Frauenrechtlerin Anna Plothow an die Knabenschule nach Berlin-Tegel gelangte. Im folgenden Jahr wurde er als Erziehungsdirektor an die von Konrad Biesalski geleitete „Krüppel-Heil- und Erziehungsanstalt für Berlin-Brandenburg“, das spätere Oskar-Helene-Heim, berufen, wo er 1914 auch die Aufgaben des Verwaltungsdirektors übernahm. Der Pädagoge Würtz und der Orthopäde Biesalski ergänzten sich in ihrer Arbeit, beide gingen mit dem Konzept einer „produktiven“ Krüppelfürsorge konform. Seit 1915 fungierte Würtz zudem als Mitherausgeber der Zeitschrift für Krüppelfürsorge, des Publikationsorgans der Deutschen Vereinigung für Krüppelfürsorge, seit 1918 gehörte er bis 1933 dem Vorstand der Deutschen Vereinigung an. 

Seine Schriften dominierten in den 20er Jahren den behindertenpädagogischen Sektor. Auf der Basis vor allem „sozialbiologischer“ Anschauungen, aber auch reformpädagogischer Ansätze, die unter anderem Forderungen nach Koedukation, naturnahen Aktivitäten sowie standes- und konfessionsübergreifendem Unterricht umfassten, entwickelte Hans Würtz seine „Krüppelpädagogik“ und „Krüppelpsychologie“ mit schon damals lebhaft umstrittenen, aus heutiger Sicht abstrusen Begrifflichkeiten. Er ging davon aus, dass eine körperliche Behinderung immer auch eine seelische Abweichung bedinge, aus der sich charakterliche Defizite der „Krüppelseele“ ableiten ließen.

Von den Nationalsozialisten diskriminiert und wegen angeblicher Veruntreuung von Geldern im Oskar-Helene-Heim schon im Februar 1933 fristlos entlassen, floh Würtz vorübergehend nach Prag, wurde bei seiner Rückkehr verhaftet und am 22. Januar 1934 zu einer Gefängnisstrafe mit drei Jahren Bewährung verurteilt. Noch am Tag der Haftentlassung floh Würtz wegen befürchteter Repressalien mit seiner Frau erneut in die Tschechoslowakei, wo beide sich bis 1938 an wechselnden Orten aufhielten, danach fanden sie bis Kriegsende in Wien Zuflucht.

Durch die Aufhebung des Urteils und die Tilgung seines Namens aus dem Strafregister wurde Würtz 1947 rehabilitiert. Er war schon 1946 als 70-Jähriger nach Berlin zurückgekehrt und hatte das Amt des Schatzmeisters des sich neu konstituierenden Trägervereins des Oskar-Helene-Heims übernommen, das er bis zu seinem Tod im Jahre 1958 ausübte.